Ángulo

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.¹ Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Definiciones

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano

1. Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Definiciones clásicas

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

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Las unidades de medida de ángulos

Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

• Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
• Grado centesimal
• Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Ángulos relacionados

En función de su posición, se denominan:

• ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,
• ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común,
• ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
• ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal.

En función de su amplitud, se denominan:

• ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo,
• ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°,
• ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°,
• ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.

Ángulos de un polígono

En función de su posición, se denominan:

• ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente,
• ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

Ángulos respecto de una circunferencia

Ángulos en la circunferencia.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

Trisección del ángulo

Artículo principal: Trisección del ángulo

La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando sólo regla y compás. Es imposible de resolver con esas condiciones.

Ángulos tridimensionales

• El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
• El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

Coordenadas angulares tridimensionales

• Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

Ángulos en un espacio vectorial

Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores , se define el ángulo formado por dos vectores no nulos x e y mediante la expresión:

Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales o perpendiculares. El cociente anterior está en el intervalo ( − 1,1) debido a la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que garantiza que siempre puede aplicarse el arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ángulo que forman dos vectores siempre está en el intervalo [0,π] (geométricamente, se elige el menor de los ángulos que forman dos vectores). Las principales propiedades que cumple el ángulo de dos vectores son las siguientes:

• Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar positivo, el ángulo no cambia.
• Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar negativo, el ángulo pasa a ser el complementario.
• Se cumple el Teorema del coseno, es decir, dados x e y no nulos,
  

1- Expresar en grados.
a) 53° 16´ 50" =
b) 170° 36´ 50" =
c) 28° 10´ =
d) 45° 36" =
e) 276° 09´ 07" =

2- Expresar en minutos.
a) 16° 29´ 32" =
b) 148° 19´ 37" =
c) 45° 10´ =
d) 82° 18" =

3- Expresar en segundos.
a) 35° 19´ 43" =
b) 72° 40´ =
c) 180° 19" =
d) 342° 18´ 56" =

4- Expresar en grados, minutos y segundos.
a) 38,466° =
b) 126,03334° =
c) 136,44´ =
d) 362,62´ =
e) 40436" =
f) 68367" =

5- Reducir al sistema circular. Para π = 3,14.
a) 42° 29´ 36" =
b) 150° =
c) 36° 18´ =
d) 146° 36" =
e) 184,68´ =
f) 58348" =
g) 270° =


2- Expresar en el sistema sexagesimal un ángulo de:
a) (1/12).π rad =
b) (1/8).π rad =
c) (1/5).π rad =
d) 1 rad =
e) (3/5).π rad =
f) (2/3).π rad =
g) (3/4).π rad =
h) 2,5 rad =
i) (4/5).π rad =
j) 2,7 rad =
k) 3,6 rad =
l) (4/3).π rad =
ll) 4,18888 rad =
m) (7/5).π rad =
n) (5/3).π rad =
ñ) (7/4).π rad =
o) 5,55555 rad =
p) 6 rad =
q) 6,17222 rad =
r) (7/3).π rad =