Pitágoras

teorema de Pitágoras
En matemática , el teorema de Pitágoras o el teorema de Pitágoras es una relación en la geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo (en ángulo recto del triángulo a la derecha). En términos de áreas, que establece lo siguiente:
En cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son las dos piernas (las dos partes que se unen en un ángulo recto ).
El teorema se puede escribir como una ecuación que relaciona la longitud de los lados a, b, yc, a menudo llamada la ecuación de Pitágoras:


donde c representa la longitud de la hipotenusa, y a y b representan las longitudes de los otros dos lados.
El teorema de Pitágoras es el nombre del matemático griego Pitágoras , que por tradición se le atribuye su descubrimiento y la prueba , [2] [3] aunque se suele decir que el conocimiento del teorema de lo anterior. Hay pruebas de que los matemáticos babilonios entiende la fórmula, aunque hay poca evidencia que sobreviven equipado en un marco matemático. [4] [5]
El teorema se refiere tanto a las áreas y longitudes, o puede decirse que ambas áreas y las interpretaciones métricas. [6] [7] Algunas pruebas del teorema se basa en una interpretación, algunas sobre el otro, utilizando técnicas algebraicas y geométricas. [8] El teorema puede ser generalizado de varias maneras, incluyendo espacios de dimensión superior, a los espacios que no euclidiana, a los objetos que no son triángulos rectángulos, y, de hecho, a los objetos que no son triángulos en absoluto, pero de dimensión n sólidos. El teorema de Pitágoras ha despertado el interés fuera de las matemáticas como un símbolo de hermetismo matemáticas, mística, o el poder intelectual; referencias en la literatura popular, obras de teatro, abundan los musicales, canciones, sellos y los dibujos animados.
Otras formas
Como se señala en la introducción, si c denota la longitud de la hipotenusa y b y un denotan las longitudes de los otros dos lados, el teorema de Pitágoras se puede expresar como la ecuación de Pitágoras:
    
Si la longitud de A y B son conocidos, entonces c se puede calcular de la siguiente manera:
    
Si la longitud de c y una pierna (A o B) son conocidos, la longitud de la otra pierna se puede calcular con las siguientes ecuaciones:
    
o
    
La ecuación de Pitágoras establece una relación simple entre los tres lados de un triángulo rectángulo de modo que si la longitud de cualquiera de los dos lados son conocidos, la longitud del tercer lado se puede encontrar. Una generalización de este teorema es la ley de los cosenos , que permite el cálculo de la longitud del tercer lado de cualquier triángulo, teniendo en cuenta las longitudes de dos lados y el tamaño del ángulo entre ellos. Si el ángulo entre los lados es un ángulo recto, el teorema del coseno se reduce a la ecuación de Pitágoras.
Las pruebas
Este teorema puede haber conocido las pruebas más que cualquier otro (la ley de reciprocidad cuadrática ser otro candidato para esa distinción), El libro de Pitágoras contiene la Proposición 370 pruebas. la [9]
Prueba utilizando triángulos semejantes
Esta prueba se basa en la proporcionalidad de los lados de dos similares triángulos, es decir, en el hecho de que la relación de cualquiera de los dos lados correspondientes de triángulos semejantes es el mismo independientemente del tamaño de los triángulos.
Sea ABC representa un triángulo rectángulo, con el ángulo recto se encuentra en C, como se muestra en la figura. Señalamos a la altura del punto C, H y llame a su intersección con el lado AB. El punto H se divide la longitud de la hipotenusa c en las partes D y E. El nuevo triángulo ACH es semejante al triángulo ABC, porque ambos tienen un ángulo recto (por definición de la altitud), y comparten el ángulo en A, lo que significa que el tercer ángulo será el mismo en ambos triángulos, así, marcados como θ en la figura. Por un razonamiento similar, el triángulo CBH es también similar a la ABC. La prueba de la similitud de los triángulos requiere que el Triángulo de postulado : la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos, y es equivalente al postulado de las paralelas . La similitud de los triángulos lleva a la igualdad de las relaciones entre los lados correspondientes:
    \ Frac ā {c} = \ frac ē ā mbox \ frac {y} \ {b} {c} = \ frac {d} {b}. \,
El primer resultado se compara el coseno de cada θ ángulo y el segundo resultado se compara la senos .
Estas relaciones se pueden escribir como:
    a ^ 2 = c \ veces e \ mbox {y} ^ b 2 = c \ veces d. \,
Sumando estas dos igualdades, obtenemos
    a ^ ^ 2 + b 2 = c \ veces e + c \ times d = c \ times (d + e) ​​^ c = 2, \, \!
que poner en orden, es el teorema de Pitágoras:
    a ^ ^ 2 + b 2 = c ^ 2 \. \, \!
Esta es una prueba métricas en el sentido de Dantzig, que depende de la longitud, no zonas. El papel de esta prueba en la historia es objeto de mucha especulación. La cuestión subyacente es la razón por Euclides no hizo uso de esta prueba, pero inventó otro. Una conjetura es que la prueba de triángulos semejantes que participan una teoría de las proporciones, no es un tema discutido hasta más tarde en los elementos, y que la teoría de las proporciones es necesario un mayor desarrollo en ese momento. [10] [11] la demostración de Euclides La prueba en los Elementos de Euclides
A grandes rasgos, así es como la prueba de Euclides Elementos producto. La gran plaza se divide en un rectángulo de la izquierda y la derecha. Un triángulo se construye que tiene la mitad del área del rectángulo de la izquierda. A continuación, se construye otro triángulo que tiene la mitad de la zona de la plaza a la izquierda-la mayoría de lado. Estos dos triángulos se muestran para ser congruentes, lo que demuestra esta plaza tiene la misma área que el rectángulo de la izquierda. Este argumento es seguido por una versión similar para el rectángulo de la derecha y la plaza restante. Poner los dos rectángulos juntos para reformar el cuadrado de la hipotenusa, su área es igual a la suma de la superficie de las otras dos plazas. Los detalles están al lado.
Sean A, B, C el vértices de un triángulo rectángulo, con un ángulo recto en A. Caída de una perpendicular de la A a la parte opuesta de la hipotenusa en el cuadrado de la hipotenusa. Esa línea se divide el cuadrado de la hipotenusa en dos rectángulos, cada uno que tiene la misma superficie que una de las dos plazas en las piernas.
Para la prueba formal, se requieren cuatro primarias lemas :
    Si dos triángulos tienen dos lados de la cada uno igual a dos lados de la otra, cada una de ellas, y los ángulos incluidos por los lados iguales, entonces los triángulos son congruentes ( lado-ángulo-lado ).
    El área de un triángulo es la mitad de la superficie de cualquier paralelogramo en la misma base y tener la misma altura.
    El área de un rectángulo es igual al producto de dos lados adyacentes.
    El área de un cuadrado es igual al producto de dos de sus lados (De 3). 
l Teorema de Pitágoras fue descubierto por uno de los más conocidos discípulos de Pitágoras, Hipaso de Metaponto.
Lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. El teorema establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos.
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:
a^2 + b^2 = c^2
Demostraciones
El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el grado de Magíster matheseos.
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pitagoream Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.