Pitágoras

teorema de Pitágoras
En matemática , el teorema de Pitágoras o el teorema de Pitágoras es una relación en la geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo (en ángulo recto del triángulo a la derecha). En términos de áreas, que establece lo siguiente:
En cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son las dos piernas (las dos partes que se unen en un ángulo recto ).
El teorema se puede escribir como una ecuación que relaciona la longitud de los lados a, b, yc, a menudo llamada la ecuación de Pitágoras:


donde c representa la longitud de la hipotenusa, y a y b representan las longitudes de los otros dos lados.
El teorema de Pitágoras es el nombre del matemático griego Pitágoras , que por tradición se le atribuye su descubrimiento y la prueba , [2] [3] aunque se suele decir que el conocimiento del teorema de lo anterior. Hay pruebas de que los matemáticos babilonios entiende la fórmula, aunque hay poca evidencia que sobreviven equipado en un marco matemático. [4] [5]
El teorema se refiere tanto a las áreas y longitudes, o puede decirse que ambas áreas y las interpretaciones métricas. [6] [7] Algunas pruebas del teorema se basa en una interpretación, algunas sobre el otro, utilizando técnicas algebraicas y geométricas. [8] El teorema puede ser generalizado de varias maneras, incluyendo espacios de dimensión superior, a los espacios que no euclidiana, a los objetos que no son triángulos rectángulos, y, de hecho, a los objetos que no son triángulos en absoluto, pero de dimensión n sólidos. El teorema de Pitágoras ha despertado el interés fuera de las matemáticas como un símbolo de hermetismo matemáticas, mística, o el poder intelectual; referencias en la literatura popular, obras de teatro, abundan los musicales, canciones, sellos y los dibujos animados.
Otras formas
Como se señala en la introducción, si c denota la longitud de la hipotenusa y b y un denotan las longitudes de los otros dos lados, el teorema de Pitágoras se puede expresar como la ecuación de Pitágoras:
    
Si la longitud de A y B son conocidos, entonces c se puede calcular de la siguiente manera:
    
Si la longitud de c y una pierna (A o B) son conocidos, la longitud de la otra pierna se puede calcular con las siguientes ecuaciones:
    
o
    
La ecuación de Pitágoras establece una relación simple entre los tres lados de un triángulo rectángulo de modo que si la longitud de cualquiera de los dos lados son conocidos, la longitud del tercer lado se puede encontrar. Una generalización de este teorema es la ley de los cosenos , que permite el cálculo de la longitud del tercer lado de cualquier triángulo, teniendo en cuenta las longitudes de dos lados y el tamaño del ángulo entre ellos. Si el ángulo entre los lados es un ángulo recto, el teorema del coseno se reduce a la ecuación de Pitágoras.
Las pruebas
Este teorema puede haber conocido las pruebas más que cualquier otro (la ley de reciprocidad cuadrática ser otro candidato para esa distinción), El libro de Pitágoras contiene la Proposición 370 pruebas. la [9]
Prueba utilizando triángulos semejantes
Esta prueba se basa en la proporcionalidad de los lados de dos similares triángulos, es decir, en el hecho de que la relación de cualquiera de los dos lados correspondientes de triángulos semejantes es el mismo independientemente del tamaño de los triángulos.
Sea ABC representa un triángulo rectángulo, con el ángulo recto se encuentra en C, como se muestra en la figura. Señalamos a la altura del punto C, H y llame a su intersección con el lado AB. El punto H se divide la longitud de la hipotenusa c en las partes D y E. El nuevo triángulo ACH es semejante al triángulo ABC, porque ambos tienen un ángulo recto (por definición de la altitud), y comparten el ángulo en A, lo que significa que el tercer ángulo será el mismo en ambos triángulos, así, marcados como θ en la figura. Por un razonamiento similar, el triángulo CBH es también similar a la ABC. La prueba de la similitud de los triángulos requiere que el Triángulo de postulado : la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos, y es equivalente al postulado de las paralelas . La similitud de los triángulos lleva a la igualdad de las relaciones entre los lados correspondientes:
    \ Frac ā {c} = \ frac ē ā mbox \ frac {y} \ {b} {c} = \ frac {d} {b}. \,
El primer resultado se compara el coseno de cada θ ángulo y el segundo resultado se compara la senos .
Estas relaciones se pueden escribir como:
    a ^ 2 = c \ veces e \ mbox {y} ^ b 2 = c \ veces d. \,
Sumando estas dos igualdades, obtenemos
    a ^ ^ 2 + b 2 = c \ veces e + c \ times d = c \ times (d + e) ​​^ c = 2, \, \!
que poner en orden, es el teorema de Pitágoras:
    a ^ ^ 2 + b 2 = c ^ 2 \. \, \!
Esta es una prueba métricas en el sentido de Dantzig, que depende de la longitud, no zonas. El papel de esta prueba en la historia es objeto de mucha especulación. La cuestión subyacente es la razón por Euclides no hizo uso de esta prueba, pero inventó otro. Una conjetura es que la prueba de triángulos semejantes que participan una teoría de las proporciones, no es un tema discutido hasta más tarde en los elementos, y que la teoría de las proporciones es necesario un mayor desarrollo en ese momento. [10] [11] la demostración de Euclides La prueba en los Elementos de Euclides
A grandes rasgos, así es como la prueba de Euclides Elementos producto. La gran plaza se divide en un rectángulo de la izquierda y la derecha. Un triángulo se construye que tiene la mitad del área del rectángulo de la izquierda. A continuación, se construye otro triángulo que tiene la mitad de la zona de la plaza a la izquierda-la mayoría de lado. Estos dos triángulos se muestran para ser congruentes, lo que demuestra esta plaza tiene la misma área que el rectángulo de la izquierda. Este argumento es seguido por una versión similar para el rectángulo de la derecha y la plaza restante. Poner los dos rectángulos juntos para reformar el cuadrado de la hipotenusa, su área es igual a la suma de la superficie de las otras dos plazas. Los detalles están al lado.
Sean A, B, C el vértices de un triángulo rectángulo, con un ángulo recto en A. Caída de una perpendicular de la A a la parte opuesta de la hipotenusa en el cuadrado de la hipotenusa. Esa línea se divide el cuadrado de la hipotenusa en dos rectángulos, cada uno que tiene la misma superficie que una de las dos plazas en las piernas.
Para la prueba formal, se requieren cuatro primarias lemas :
    Si dos triángulos tienen dos lados de la cada uno igual a dos lados de la otra, cada una de ellas, y los ángulos incluidos por los lados iguales, entonces los triángulos son congruentes ( lado-ángulo-lado ).
    El área de un triángulo es la mitad de la superficie de cualquier paralelogramo en la misma base y tener la misma altura.
    El área de un rectángulo es igual al producto de dos lados adyacentes.
    El área de un cuadrado es igual al producto de dos de sus lados (De 3). 
l Teorema de Pitágoras fue descubierto por uno de los más conocidos discípulos de Pitágoras, Hipaso de Metaponto.
Lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. El teorema establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos.
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:
a^2 + b^2 = c^2
Demostraciones
El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el grado de Magíster matheseos.
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pitagoream Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

Semejanza

Dos triángulos son semejantes si existe una relación de semejanza o similitud entre ambos.

na semejanza es la composición de una materia (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la rotación se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.

Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.

En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura).

Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.

En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.

Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:

Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.

Ecuación

Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:

Corolarios

• Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
• Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.

Una semejanza es la composición de una isometría (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la rotación se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura). Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos. En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con A', B' y C', respectivamente. Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes Propiedad reflexiva, refleja o idéntica Todo triángulo es semejante a sí mismo. Propiedad idéntica o simétrica Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero. Propiedad transitiva Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero. Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de equivalencia.

Teorema fundamental de la semejanza de triángulos

Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.

H)

ABC; r || AC

r corta AB en L

r corta BC en M

T) (BLM∼BAC)

D)

Casos

Podrán presentarse 3 casos:

Primer caso

r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.

Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):

 por carácter reflejo

 por ser correspondientes entre r || BC, secante AB

 por ser correspondientes entre r || BC, secante AC

Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:

Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en  se obtiene:

De  y  se obtiene la consideración que llamaremos (2):

Luego de (1) y (2), resulta:

BLM∼BAC por definición de semejanza.

Segundo caso

r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.

Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:

 por carácter simétrico.

r corta a las rectas de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.

Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.

Quedan entonces BNO∼BAC por el caso I, semejanza que llamaremos .

Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:

• BN=BM por construcción
• α=α' por ser opuestos por el vértice.
• β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante MN

Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM  por el primer corolario de la definición.

De  y , y por carácter transitivo:

BAC ~ BLM  BLM ~ BAC

Geometrías no-euclídeas

La posibilidad de aumentar el tamaño de una figura sin modificar su forma es tan obvia y natural que durante milenios se pensó que era una consecuencia de los axiomas de la geometría, y se trató en vano de demostrarlo desde la Grecia antigua. Sin embargo, al estudiar otras geometrías, las no euclidianas, los matemáticos del siglo XIX, entre ellos Bernhard Riemann y Nikolái Lobachevski se dieron cuenta que esto sólo sucedía en los espacios euclídeos, es decir, sin curvatura.

Se puede definir una geometría sobre la esfera, por ejemplo: Los segmentos son los caminos más cortos que unen sus extremos y las rectas son las líneas geodésicas, a semejanza de los ecuadores de la esfera. El análogo de una homotecia se construye así: se escoge un punto O de la superficie como centro de la homotecia, y para definir la imagen de otro punto A se traza la geodésica que pasa por O y A (que es única siA no es el punto diametralmente opuesto a O), consideramos que O es el origen de esta línea y A el punto de abscisa 1. La imagen A' será el punto de abscisa k, donde k es la razón de la homotecia. En la figura se ha tomado k = 3 y se han construido las imágenes de B y C también.

Triángulos semejantes en la geometría de Riemann.

Se observa que la imagen del "triángulo" ABC es el "triángulo A'B'C', es decir que los catetos A'B', A'C' y B'C' son segmentos de líneas geodésicas, y que A'B'C' merece ser llamado triángulo semejante (por no decir homotético) al triángulo ABC.

Al aplicar la construcción precedente al pequeño triángulo ABC de la superfice de la esfera (pequeño en comparación con el diámetro), la suma de sus ángulos será ligéramente superior a π radianes (180º), pero el triángulo A'B'C' tendrá ángulos de mayor amplitud, siendo su suma mucho mayor que π radianes, como se ve en la figura. El aumento de tamaño implica aquí claramente un cambio de forma.

En conclusión, los triángulos semejantes permiten saber en que clase de espacio nos hallamos, uno euclidiano, o con curvatura positiva (como la esfera), o con curvatura negativa (espacio hiperbólico), y la doble caracterización de los triángulos similares (mismos ángulos y cocientes de los lados iguales) en la geometría usual no es ni anecdótico ni anodino.

E J E R C I C I O S

1.     Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.

2.     Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados.

3.     Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.

4.     La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo.

5.     Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m., 8 m. y 10 m. respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m.?

6.     Si a//b, r y r’ secantes que se cortan en O. Demuestra que DOAA’ ~ DOBB’.

7.     Si a//b, r y r’ secantes que se cortan en O y OA = 8 cm., OB = 12 cm., AA’ = 10 cm., A’B’ = 15 cm. Determina OB’ y BB’.

8.     En el DABC, AD ^ BC y CE ^ AB. Demostrar que CE × AB = AD × BC

9.     Si en el DABC, CD es la bisectriz del ÐACB y ÐABE @ ÐACD, demostrar que DACD ~ DDBE y que DADC ~ DCEB.

10.  Los lados de un triángulo miden 2 cm., 1,5 cm. y 3 cm. Construye, sobre un segmento de 2,5 cm.. homólogo del primer lado de este triángulo, un triángulo semejante a aquel.

Ángulo

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.¹ Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Definiciones

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano

1. Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Definiciones clásicas

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

.

Las unidades de medida de ángulos

Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

• Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
• Grado centesimal
• Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Ángulos relacionados

En función de su posición, se denominan:

• ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,
• ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común,
• ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
• ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal.

En función de su amplitud, se denominan:

• ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo,
• ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°,
• ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°,
• ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.

Ángulos de un polígono

En función de su posición, se denominan:

• ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente,
• ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

Ángulos respecto de una circunferencia

Ángulos en la circunferencia.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

Trisección del ángulo

Artículo principal: Trisección del ángulo

La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando sólo regla y compás. Es imposible de resolver con esas condiciones.

Ángulos tridimensionales

• El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
• El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

Coordenadas angulares tridimensionales

• Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

Ángulos en un espacio vectorial

Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores , se define el ángulo formado por dos vectores no nulos x e y mediante la expresión:

Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales o perpendiculares. El cociente anterior está en el intervalo ( − 1,1) debido a la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que garantiza que siempre puede aplicarse el arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ángulo que forman dos vectores siempre está en el intervalo [0,π] (geométricamente, se elige el menor de los ángulos que forman dos vectores). Las principales propiedades que cumple el ángulo de dos vectores son las siguientes:

• Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar positivo, el ángulo no cambia.
• Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar negativo, el ángulo pasa a ser el complementario.
• Se cumple el Teorema del coseno, es decir, dados x e y no nulos,
  

1- Expresar en grados.
a) 53° 16´ 50" =
b) 170° 36´ 50" =
c) 28° 10´ =
d) 45° 36" =
e) 276° 09´ 07" =

2- Expresar en minutos.
a) 16° 29´ 32" =
b) 148° 19´ 37" =
c) 45° 10´ =
d) 82° 18" =

3- Expresar en segundos.
a) 35° 19´ 43" =
b) 72° 40´ =
c) 180° 19" =
d) 342° 18´ 56" =

4- Expresar en grados, minutos y segundos.
a) 38,466° =
b) 126,03334° =
c) 136,44´ =
d) 362,62´ =
e) 40436" =
f) 68367" =

5- Reducir al sistema circular. Para π = 3,14.
a) 42° 29´ 36" =
b) 150° =
c) 36° 18´ =
d) 146° 36" =
e) 184,68´ =
f) 58348" =
g) 270° =


2- Expresar en el sistema sexagesimal un ángulo de:
a) (1/12).π rad =
b) (1/8).π rad =
c) (1/5).π rad =
d) 1 rad =
e) (3/5).π rad =
f) (2/3).π rad =
g) (3/4).π rad =
h) 2,5 rad =
i) (4/5).π rad =
j) 2,7 rad =
k) 3,6 rad =
l) (4/3).π rad =
ll) 4,18888 rad =
m) (7/5).π rad =
n) (5/3).π rad =
ñ) (7/4).π rad =
o) 5,55555 rad =
p) 6 rad =
q) 6,17222 rad =
r) (7/3).π rad =